【题目】某省高中男生身高统计调查数据显示:全省名男生的身高服从正态分布
,现从该生某校高三年级男生中随机抽取
名测量身高,测量发现被测学生身高全部介于
和
之间,将测量结果按如下方式分成
组:第一组
,第二组
,…,第六组
,下图是按照上述分组方法得到的频率分布直方图.
(1)求该学校高三年级男生的平均身高;
(2)求这名男生中身高在
以上(含
)的人数;
(3)从这名男生中身高在
以上(含
)的人中任意抽取
人,该
中身高排名(从高到低)在全省前
名的人数记为
,求
的数学期望.
(附:参考数据:若服从正态分布
,则
,
,
.)
【答案】(1)171.5cm(2)10人(3)
【解析】试题分析:(1)计算平均身高用组中值×频率,即可得到结论;
(2)先理解频率分布直方图横纵轴表示的意义,横轴表示身高,纵轴表示频数,即每组中包含个体的个数;根据频数分布直方图,了解数据的分布情况,知道每段所占的比例,从而求出这50名男生身高在177.5cm以上(含177.5cm)的人数;
(3)先根据正态分布的规律求出全市前130名的身高在182.5cm以上的50人中的人数,确定ξ的可能取值,求出其概率,即可得到ξ的分布列与期望.
试题解析:
(1)由直方图可知该校高三年级男生平均身高为
(2)由频率分布直方图知,后两组频率为,人数为
,即这
名男生身高在
以上(含
)的人数为
人
(3)∵
∴,而
,
所以全省前名的身高在
以上(含
),这
人中
以上(含
)的有
人.
随机变量可取
,
,
,于是
,
∴.
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【题目】给定椭圆,称圆
为椭圆
的“伴随圆”.已知点
是椭圆
上的点
(1)若过点的直线
与椭圆
有且只有一个公共点,求
被椭圆
的伴随圆
所截得的弦长:
(2)是椭圆
上的两点,设
是直线
的斜率,且满足
,试问:直线
是否过定点,如果过定点,求出定点坐标,如果不过定点,试说明理由。
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【题目】某地区某农产品近几年的产量统计如下表:
(1)根据表中数据,建立关于
的线性回归方程
;
(2)若近几年该农产品每千克的价格 (单位:元)与年产量
满足的函数关系式为
,且每年该农产品都能售完.
①根据(1)中所建立的回归方程预测该地区年该农产品的产量;
②当为何值时,销售额
最大?
附:对于一组数据,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
,
.
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【题目】如图,某大型水上乐园内有一块矩形场地米,
米,以
为直径的半圆
和半圆
(半圆在矩形
内部)为两个半圆形水上主题乐园,
都建有围墙,游客只能从线段
处进出该主题乐园.为了进一步提高经济效益,水上乐园管理部门决定沿着
修建不锈钢护栏,沿着线段
修建该主题乐园大门并设置检票口,其中
分别为
上的动点,
,且线段
与线段
在圆心
和
连线的同侧.已知弧线部分的修建费用为
元/米,直线部门的平均修建费用为
元/米.
(1)若米,则检票等候区域(其中阴影部分)面积为多少平方米?
(2)试确定点的位置,使得修建费用最低.
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【题目】某家电公司根据销售区域将销售员分成两组.2017年年初,公司根据销售员的销售业绩分发年终奖,销售员的销售额(单位:十万元)在区间
内对应的年终奖分别为2万元,2.5万元,3万元,3.5万元.已知200名销售员的年销售额都在区间
内,将这些数据分成4组:
,得到如下两个频率分布直方图:
以上面数据的频率作为概率,分别从组与
组的销售员中随机选取1位,记
分别表示
组与
组被选取的销售员获得的年终奖.
(1)求的分布列及数学期;
(2)试问组与
组哪个组销售员获得的年终奖的平均值更高?为什么?
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【题目】棱台的三视图与直观图如图所示.
(1)求证:平面平面
;
(2)在线段上是否存在一点
,使
与平面
所成的角的正弦值为
?若存在,指出点
的位置;若不存在,说明理由.
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【题目】现有六支足球队参加单循环比赛(即任意两支球队只踢一场比赛),第一周的比赛中
,各踢了
场,
各踢了
场,
踢了
场,且
队与
队未踢过,
队与
队也未踢过,则在第一周的比赛中,
队踢的比赛的场数是( )
A. B.
C.
D.
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【题目】已知抛物线在第一象限内的点
到焦点
的距离为
.
(1)若,过点
,
的直线
与抛物线相交于另一点
,求
的值;
(2)若直线与抛物线
相交于
两点,与圆
相交于
两点,
为坐标原点,
,试问:是否存在实数
,使得
的长为定值?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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