Question

已知函数f（x）=log

1

2

（x²-ax+2）
（1）a=3，求函数的定义域和值域．
（2）求实数a的取值范围，使得f（x）在（3，+∞）上是单调减函数．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）当a=3时，由x²-3x+2＞0函数的定义域，进而根据真数部分可以为任意正数，可得函数f（x）的值域为R；
（2）若f（x）在（3，+∞）上是单调减函数．则t=x²-ax+2在（3，+∞）上是单调增，且大于0恒成立，故

a 2 ≤3 9-3a+2≥0

，解得答案．

解答： 解：（1）当a=3时，由x²-3x+2＞0得：
x∈（-∞，1）∪（2，+∞）
故函数f（x）的定义域为：（-∞，1）∪（2，+∞），
令t=x²-ax+2，此时t∈（0，+∞0，
故函数f（x）的值域为R     （6分）
（2）若f（x）在（3，+∞）上是单调减函数．
则t=x²-ax+2在（3，+∞）上是单调增，且大于0恒成立，
故

a 2 ≤3 9-3a+2≥0

，
解得a≤

11

3

，
所以a∈（-∞，

11

3

）（12分）

点评：本题考查的知识点是对数函数图象与性质的综合应用，熟练掌握对数函数的图象和性质及复合函数的单调性是解答的关键．