Question

16．已知函数$f（x）=（{a+2{{cos}^2}\frac{x}{2}}）cos（{x+θ}）$为奇函数，且$f（{\frac{π}{2}}）=0$，其中a∈R，θ∈（0，π）．
（Ⅰ）求a，θ的值；
（Ⅱ）若$α∈（{\frac{π}{2}，π}）$，$f（\frac{α}{2}+\frac{π}{8}）+\frac{2}{5}cos（α+\frac{π}{4}）cos2α=0$，求cosα-sinα的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）f（x）是奇函数，且$f（{\frac{π}{2}}）=0$，建立等式关系即可求解．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）可得f（x）的解析式，根据$f（\frac{α}{2}+\frac{π}{8}）+\frac{2}{5}cos（α+\frac{π}{4}）cos2α=0$，即可求解cosα-sinα的值．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=（{a+2{{cos}^2}\frac{x}{2}}）cos（{x+θ}）$是奇函数，
∴$（{a+2{{cos}^2}\frac{x}{2}}）cos（{x+θ}）=-（{a+2{{cos}^2}\frac{x}{2}}）cos（{-x+θ}）$，
整理得，cosxcosθ=0，即cosθ=0．
又θ∈（0，π），
得$θ=\frac{π}{2}$．
∴$f（x）=-sinx•（a+2{cos^2}\frac{x}{2}）$，
由$f（{\frac{π}{2}}）=0$，得-（a+1）=0，即a=-1．
则f（x）的解析式为：$f（x）=-\frac{1}{2}sin2x$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$f（x）=-\frac{1}{2}sin2x$．
$f（\frac{α}{2}+\frac{π}{8}）+\frac{2}{5}cos（α+\frac{π}{4}）cos2α=0$⇒$sin（α+\frac{π}{4}）=\frac{4}{5}cos（α+\frac{π}{4}）cos2α$．
∵$cos2α=sin（2α+\frac{π}{2}）=sin[2（α+\frac{π}{4}）]=2sin（α+\frac{π}{4}）cos（α+\frac{π}{4}）$，
∴$sin（α+\frac{π}{4}）=\frac{8}{5}{cos^2}（α+\frac{π}{4}）sin（α+\frac{π}{4}）$
又$α∈（{\frac{π}{2}，π}）$，
∴$sin（α+\frac{π}{4}）=0$或${cos^2}（α+\frac{π}{4}）=\frac{5}{8}$．
①由$sin（α+\frac{π}{4}）=0⇒α=\frac{3π}{4}$．
∴$cosα-sinα=cos\frac{3π}{4}-sin\frac{3π}{4}=-\sqrt{2}$；
②由${cos^2}（α+\frac{π}{4}）=\frac{5}{8}$，$\frac{3π}{4}＜α+\frac{π}{4}＜\frac{5π}{4}$，
得$cos（α+\frac{π}{4}）=-\frac{{\sqrt{5}}}{{2\sqrt{2}}}⇒\frac{1}{{\sqrt{2}}}（cosα-sinα）=-\frac{{\sqrt{5}}}{{2\sqrt{2}}}$．
∴$cosα-sinα=-\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．
综上，$cosα-sinα=-\sqrt{2}$或$cosα-sinα=-\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．