Question

已知圆x²+y²-6x-7=0与抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线相切
（Ⅰ）求抛物线C的方程
（Ⅱ）过抛物线C的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|=7，求线段AB的中点M到y轴的距离．

Answer 1

考点：圆与圆锥曲线的综合,抛物线的标准方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）求出圆的圆心与半径，利用y²=2px（p＞0）的准线相切，求出p，得到抛物线方程．
（Ⅱ）求出抛物线C的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1，求出抛物线定义知线段AB的中点M到准线的距离，然后求解线段AB的中点M到y轴的距离．

解答： 解：（Ⅰ）圆x²+y²-6x-7=0，即（x-3）²+y²=16，所以圆心（3，0），半径为4，
抛物线的准线方程为x=-

p

2

，依题意，有3-（-

p

2

）=4，得p=2，
故抛物线方程为y²=4x；------（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，抛物线C的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1，
由抛物线定义知线段AB的中点M到准线的距离为

1

2

(|，
故线段AB的中点M到y轴的距离d=

7

2

-1=

5

2

．------（12分）

点评：本题考查圆的方程与抛物线方程的综合应用，点到直线的距离，考查分析问题解决问题的能力．