Question

已知函数f（x）=x³-3x-1，若直线y=m与y=f（x）的图象有三个不同的交点，则m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：利用导数求出函数的单调性和极值，利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：∵f（x）=x³-3x-1，
∴f′（x）=3x²-3，
由f′（x）=3x²-3＞0，解得x＞1或x＜-1，此时函数单调递增，
由f′（x）=3x²-3＜0，解得-1＜x＜1，此时函数单调递减，
故当x=-1时，函数f（x）取得极大值f（-1）=1，
当x=1时，函数f（x）取得极小值f（1）=-3，
要使直线y=m与y=f（x）的图象有三个不同的交点，
则f（1）＜m＜f（-1），即-3＜m＜1，
故答案为：（-3，1）

点评：本题主要考查函数交点个数的应用，利用导数求出函数的极值，利用数形结合时解决本题的关键．