Question

4．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ），（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x		$\frac{π}{3}$		$\frac{5π}{6}$
f（x）=Asin（ωx+φ），	0	5		-5	0

（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；
（2）将y=f（x）图象上所有点向左平移动$\frac{π}{6}$个单位长度，得到y=g（x）图象，求y=g（x），x∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$）的单调增区间和值域．

Answer 1

分析 （1）根据“五点法”画图求出A、ω、φ的值，
写出f（x）解析式，填表即可；
（2）根据图象平移法则，得出g（x）解析式，
求出g（x）在x∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$）内的单调增区间和值域．

解答 解：（1）根据“五点法”知，A=5，
且$\left\{\begin{array}{l}{\frac{π}{3}ω+φ=\frac{π}{2}}\\{\frac{5π}{6}ω+φ=\frac{3π}{2}}\end{array}\right.$，
解得ω=2，φ=-$\frac{π}{6}$；
∴f（x）=5sin（2x-$\frac{π}{6}$），
填表如下；

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$	$\frac{13π}{12}$
f（x）=Asin（ωx+φ），	0	5	0	-5	0

（2）将y=f（x）图象上所有点向左平移动$\frac{π}{6}$个单位长度，
得y=5sin[2（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=5sin（2x+$\frac{π}{6}$）的图象，
∴y=g（x）=5sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z，
∴y=g（x）在x∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$）内的单调增区间为（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]；
当x∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$）时，2x+$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），
∴5sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈（-$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，5]，
即函数g（x）的值域为（-$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，5]．

点评 本题考查了“五点法”画图以及三角函数图象平移、三角函数图象与性质的应用问题，是中档题．