Question

已知函数f（x）=lnx-ax+2，a∈R是常数．
（1）若函数y=f（x）的图象在点（a，f（a））（a＞0）与直线y=b相切，求a和b的值；
（2）若函数y=f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义建立方程关系即可求a和b的值；
（2）求函数的导数，利用导数研究函数的最值和极值，结合函数的单调性进行讨论求解即可．

解答： 解：（1）函数的导数f′（x）=

1

x

-a，
∵y=f（x）的图象在点（a，f（a））（a＞0）与直线y=b相切，
∴f′（a）=

1

a

-a=0，
解得a=1或a=-1（舍去），
则f（1）=1=b，即b=1．

（2）由f（x）=lnx-ax+2=0，得a=

lnx+2

x

，
令g（x）=

lnx+2

x

，
则g′（x）=-

lnx+1

x2

，
令g′（x）＞0得0＜x＜

1

e

，此时函数递增，
令g′（x）＜0，得x＞

1

e

，此时函数递减，
故当x=

1

e

时函数取得最大值g（

1

e

）=e，
若a＞e，则y=f（x）没有零点，
若a=e，则y=f（x）有且只有一个零点，
当a≤0，f′（x）=

1

x

-a＞0恒成立，则f（x）在（0，+∞）上单调递增，此时函数f（x）有且只有一个零点．，
当0＜a＜e时，g（

1

e3

）=-e³，g（

1

e

）=e，
即g（

1

e3

）＜a＜g（

1

e

），
∵g（x）在（0，

1

e

）上递增，
∴当x∈（0，

1

e

）时，y=a与g（x）的图象有且只有一个交点，即函数f（x）在（0，

1

e

）上有且只有一个零点．
当x→+∞时，由幂函数和对数函数的单调性可知，g（x）→0，
而0＜a＜e，
∴当x∈（

1

e

，+∞）时，y=a与g（x）的图象有且只有一个交点，即函数在（

1

e

，+∞）上有且只有一个零点．
∴当0＜a＜e时，函数f（x）在（0，+∞）上有两个两点．

点评：本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义以及函数最值和导数之间的是解决本题的关键．考查学生的运算能力，综合性较强，运算量较大．