Question

已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：
①M={（x，y）|y=

1

x

}；       
②M={（x，y）|y=sinx+1}；
③M={（x，y）|y=log₂x}；     
④M={（x，y）|y=e^x-2}．
其中是“垂直对点集”的序号是

 

．

Answer 1

考点：函数的图象

专题：新定义,数形结合,函数的性质及应用

分析：利用数形结合的方法解决，根据题意，若集合M={（x，y）|y=f（x）}是“垂直对点集”，就是在函数图象上任取一点A，得直线OA，过原点与OA垂直的直线OB，若OB总与函数图象相交即可．

解答： 解：由题意，若集合M={（x，y）|y=f（x）}满足，对于任意A（x₁，y₁）∈M，存在B（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，因此

OA

⊥

OB

．所以，若M是“垂直对点集”，那么在M图象上任取一点A，过原点与直线OA垂直的直线OB总与函数图象相交于点B．
对于①M={（x，y）|y=

1

x

}，其图象是过一、三象限的双曲线，做第一象限的角平分线与双曲线交于点A，与OA垂直的直线是二、四象限的角平分线，显然与双曲线没有公共点．所以对于点A，在图象上不存在点B，使得OB⊥OA，所以①不符合题意；
对于②M={（x，y）|y=sinx+1}，画出函数图象，在图象上任取一点A，连OA，过原点作直线OA的垂线OB，因为y=sinx+1的图象沿x轴向左向右无限延展，且与x轴相切，因此直线OB总会与y=sinx+1的图象相交．所以M={（x，y）|y=sinx+1}是“垂直对点集”，故②符合；
对于③M={（x，y）|y=log₂x}，对于函数y=log₂x，过原点做出其图象的切线OT（切点T在第一象限），则过切点T做OT的垂线，则垂线必不过原点，所以对切点T，不存在点M，使得OM⊥OT，所以M={（x，y）|y=log₂x}不是“垂直对点集”；故③不符合题意；
对于④M={（x，y）|y=e^x-2}，其图象过点（0，-1），且向右向上无限延展，向左向下无限延展，所以，据图可知，在图象上任取一点A，连OA，过原点作OA的垂线OB必与y=e^x-2的图象相交，即一定存在点B，使得OB⊥OA成立，故M={（x，y）|y=e^x-2}是“垂直对点集”．
故答案为：②④

点评：这种类型的题目应先弄清所给信息要表达的几何意义，将其转化为一个几何问题，然后借助于函数的图象解决．