Question

设g（x）是定义在R上、以1为周期的函数，若f（x）=2x+g（x）在[0，1]上的值域为[-1，3]，则f（x）在区间[0，3]上的值域为

 

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Answer 1

考点：函数的周期性,函数的值域

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：把f（x）看成两个函数y=2x及y=g（x）的“和”，因为函数y=2x递增，y=g（x）以1为周期，因此，结合周期分别再求出y=f（x）在区间[1，2]和[2，3]的值域即可得到函数f（x）在[0，3]上的值域．

解答： 解：设x∈[1，2]，则x-1∈[0，1]，则f（x）=2x+g（x）=2（x-1）+g（x-1）+2=f（x-1）+2 ①，
∵x∈[0，1]时，f（x）∈[-1，3]，
∴对于①式，f（x-1））∈[-1，3]，∴f（x）=f（x-1）+2∈[1，5]
同理，当x∈[2，3]，则x-2∈[0，1]，则f（x）=2x+g（x）=2（x-2）+g（x-2）+4=f（x-2）+4 ②，
∵x∈[0，1]时，f（x）∈[-1，3]，
∴对于②式，f（x-2）∈[-1，3]，∴f（x）=f（x-2）+4∈[3，7]
综上，y=f（x）在[0，3]上的值域为[-1，7]．
故答案为[-1，7]

点评：准确理解函数y=f（x）的值域与y=2x及y=g（x）的值域之间的关系，不能错误的将两个函数的值域相加得到函数y=f（x）的值域．