Question

17．已知坐标原点O到直线$\sqrt{2}$ax+by-1=0（a，b∈R）的距离为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，点Q（0，-1）在以点P（a，b）为圆心的圆P上，则圆P的最大半径是$\sqrt{2}$+1．

Answer 1

分析 利用坐标原点O到直线$\sqrt{2}$ax+by-1=0（a，b∈R）的距离为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，得出$\frac{1}{\sqrt{2{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，即2a²+b²=2，由|QP|²=a²+（b+1）²=$\frac{1}{2}$（b+2）²≤$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}$+2）²，即可求出|QP|的最大值．

解答 解：∵坐标原点O到直线$\sqrt{2}$ax+by-1=0（a，b∈R）的距离为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$\frac{1}{\sqrt{2{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴2a²+b²=2，
|QP|²=a²+（b+1）²=$\frac{1}{2}$（b+2）²≤$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}$+2）²，∴|QP|的最大值为$\sqrt{2}$+1，
故答案为$\sqrt{2}$+1．

点评 本题考查点与直线距离公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．