Question

1．已知向量$\overrightarrow a$=（1，2），$\overrightarrow b$=（1，-1）．
（Ⅰ）求$|{2\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$；
（Ⅱ）设向量$\overrightarrow c=x\overrightarrow a+{x^2}\overrightarrow b$，若$\overrightarrow b$与$\overrightarrow c$的夹角为钝角，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的坐标，由模长公式可得；
（Ⅱ）可得向量$\overrightarrow{c}$的坐标，由$\overrightarrow b$与$\overrightarrow c$的夹角为钝角可得$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$＜0，解不等式排除向量反向可得．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow a$=（1，2），$\overrightarrow b$=（1，-1），
∴2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（2，4）-（1，-1）=（1，5），
∴$|{2\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$=$\sqrt{{1}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{26}$；
（Ⅱ）可得$\overrightarrow c=x\overrightarrow a+{x^2}\overrightarrow b$=（x+x²，2x-x²），
由$\overrightarrow b$与$\overrightarrow c$的夹角为钝角可得$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$=（x+x²）-（2x-x²）＜0，
解方程可得0＜x＜$\frac{1}{2}$，
若向量反向则x+x²+2x-x²=0，解得x=0，
此时向量$\overrightarrow{c}$为$\overrightarrow{0}$，不满足题意，
∴实数x的取值范围为（0，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查平面向量的夹角，涉及向量的模长公式，属基础题．