Question

16．函数f（x）=sinx+cosx的单调增区间为$[-\frac{3}{4}π+2kπ，\frac{π}{4}+2kπ]k∈Z$；已知$cos（α+\frac{π}{12}）=\frac{3}{5}$，且$α∈（0，\frac{π}{2}）$，则$f（2α+\frac{π}{12}）$=$\frac{{24\sqrt{6}-7\sqrt{2}}}{50}$．

Answer 1

分析 化简可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），解不等式2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得；由题意可得sin（α+$\frac{π}{12}$），进而由二倍角公式可得cos（2α+$\frac{π}{6}$）和sin（2α+$\frac{π}{6}$），而$f（2α+\frac{π}{12}）$=$\sqrt{2}$sin（2α+$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2α+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{2}$×$\frac{1}{2}$cos（2α+$\frac{π}{6}$），代值计算可得．

解答 解：化简可得f（x）=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得2kπ-$\frac{3π}{4}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{4}$，
∴函数的单调递增区间为：$[-\frac{3}{4}π+2kπ，\frac{π}{4}+2kπ]k∈Z$；
∵$cos（α+\frac{π}{12}）=\frac{3}{5}$，且$α∈（0，\frac{π}{2}）$，
∴sin（α+$\frac{π}{12}$）=$\frac{4}{5}$，
∴cos（2α+$\frac{π}{6}$）=2cos²（α+$\frac{π}{12}$）-1=-$\frac{7}{25}$，
∴sin（2α+$\frac{π}{6}$）=2sin（α+$\frac{π}{12}$）cos（α+$\frac{π}{12}$）=$\frac{24}{25}$
∴$f（2α+\frac{π}{12}）$=$\sqrt{2}$sin（2α+$\frac{π}{12}$+$\frac{π}{4}$）
=$\sqrt{2}$sin（2α+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{2}$sin（2α+$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$）
=$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2α+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{2}$×$\frac{1}{2}$cos（2α+$\frac{π}{6}$）
=$\frac{\sqrt{6}}{2}$×$\frac{24}{25}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（-$\frac{7}{25}$）=$\frac{{24\sqrt{6}-7\sqrt{2}}}{50}$
故答案为：$[-\frac{3}{4}π+2kπ，\frac{π}{4}+2kπ]k∈Z$；$\frac{{24\sqrt{6}-7\sqrt{2}}}{50}$

点评 本题考查两角和与差的三角函数，涉及三角函数的单调性，属中档题．