Question

设奇函数f（x）在[-1，1]上是增函数，且f（-1）=-1，若对所有的x∈[-1，1]及任意的a∈[-1，1]都满足f（x）≤t²-2at+1，则t的取值范围是（　　）

• A、[-2，2]
• B、{t|t≤-

  1

  2

  或t≥

  1

  2

  或=0}
• C、[-

  1

  2

  ，

  1

  2

  ]
• D、{t|t≤-2或t≥2或t=0}

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：先由函数为奇函数求出f（1）=-f（-1）=1，然后由x∈[-1，1]时f（x）是增函数，f（x）≤f（1）=1得f（x）≤t²-2at+1即为1≤t²-2at+l，即2at≤t²恒成立，分类讨论求解即可．

解答： 解：奇函数f（x）在[-1，1]上是增函数，且f（-1）=-1，
则f（1）=1，
又∵x∈[-1，1]时f（x）是增函数，
∴f（x）≤f（1）=1，
故有1≤t²-2at+l，
即2at≤t²，
①t=0时，显然成立，
②t＞0时，2a≤t要恒成立，则t≥2，
③t＜0时，t≤2a要恒成立，则t≤-2，
故t≤-2或t=0或t≥2，．
故选：D．

点评：本题解题的关键是综合利用函数的性质化简f（x）≤t²-2at+1，然后转化为恒成立问题求解，分类讨论求解．