【题目】如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.
(1)求证:MN∥平面BDE;
(2)求二面角C-EM-N的正弦值;
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)取AB中点F,连接MF、NF,由已知可证MF∥平面BDE,NF∥平面BDE.得到平面MFN∥平面BDE,则MN∥平面BDE;
(2)由PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.可以A为原点,分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.求出平面MEN与平面CME的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值得二面角C-EM-N的余弦值,进一步求得正弦值;
(1)证明:取AB中点F,连接MF、NF,
∵M为AD中点,∴MF∥BD,
∵BD平面BDE,MF平面BDE,∴MF∥平面BDE.
∵N为BC中点,∴NF∥AC,
又D、E分别为AP、PC的中点,∴DE∥AC,则NF∥DE.
∵DE平面BDE,NF平面BDE,∴NF∥平面BDE.
又MF∩NF=F.
∴平面MFN∥平面BDE,则MN∥平面BDE;
(2)∵PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.
∴以A为原点,分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.
∵PA=AC=4,AB=2,
∴A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),M(0,0,1),N(1,2,0),E(0,2,2),则
设平面MEN的一个法向量为
由 ,得
,取z=2,得
由图可得平面CME的一个法向量为
∴ .
∴二面角C-EM-N的余弦值为,则正弦值为
.
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【题目】若两直线的倾斜角分别为
与
,则下列四个命题中正确的是( )
A. 若<
,则两直线的斜率:k1 < k2 B. 若
=
,则两直线的斜率:k1= k2
C. 若两直线的斜率:k1 < k2 ,则<
D. 若两直线的斜率:k1= k2 ,则
=
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆离心率是
,焦点到相应准线的距离是3.
(1)求椭圆的方程;
(2)如图,设A是椭圆的左顶点,动圆过定点E(1,0)和F(7,0),且与直线x=4交于点P,Q.
①求证:AP,AQ斜率的积是定值;
②设AP,AQ分别与椭圆交于点M,N,求证:直线MN过定点.
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【题目】某海轮以30海里/小时的速度航行,在A点测得海面上油井P在南偏东60°,向北航行40分钟后到达B点,测得油井P在南偏东30°,海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C点,求P、C间的距离( )海里.
A.
B.
C.
D.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,Ω是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成区域(含边界),A、B、C、D是该圆的四等分点,若点P(x,y)、P′(x′,y′)满足x≤x′且y≥y′,则称P优于P′,如果Ω中的点Q满足:不存在Ω中的其它点优于Q,那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】如图,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形,∠ADC=120°,AB=2CD=2,平面D1DCC1垂直平面ABCD,D1C⊥AB,M是线段AB的中点.
(Ⅰ)求证:D1M∥面B1BCC1;
(Ⅱ)若DD1=2,求平面C1D1M和平面ABCD所成的锐角的余弦值.
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