Question

如图所示，F₁，F₂分别为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）的左、右两个焦点，A，B为两个顶点，已知椭圆C上的点（1，

3

2

）到焦点F₁，F₂两点的距离之和为4．
（1）求椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）过椭圆C的焦点F₂作AB的平行线交椭圆于P，Q两点，求△F₁PQ的面积．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由椭圆定义可得a=2，将点(1，

3

2

)代入椭圆方程求得b²=3，从而得到c=1，写出椭圆方程和焦点坐标；
（2）由条件求出直线PQ的方程，联立椭圆方程，消去x，得到y的二次方程，运用韦达定理，可求|y₁-y₂|，
再由面积公式

1

2

|F₁F₂|•|y₁-y₂|计算即得．

解答： 解：（1）由题设知：2a=4，即a=2，
将点(1，

3

2

)代入椭圆方程得 

1

22

+

( 3 2 )2

b2

=1，得b²=3
∴c²=a²-b²=4-3=1，
故椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1，
焦点F₁、F₂的坐标分别为（-1，0）和（1，0）．
（2）由（1）知A(-2，0)， B(0，

3

)，
∴kPQ=kAB=

3

2

，∴PQ所在直线方程为y=

3

2

(x-1)，
由

y= 3 2 (x-1) x2 4 + y2 3 =1

得 8y2+4

3

y-9=0
设P （x₁，y₁），Q （x₂，y₂），则y1+y2=-

3

2

， y1•y2=-

9

8

，
∴|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

3 4 +4× 9 8

=

21

2

，
∴S△F1PQ=

1

2

|F1F2|•|y1-y2|=

1

2

×2×

21

2

=

21

2

．

点评：本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立消去一个未知数，运用韦达定理求解的方法，考查运算能力，属于中档题．