Question

设命题p：函数f（x）=lg（ax²-x+

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a）的定义域为R；命题q：不等式3^x-9^x＜a对一切正实数都成立，如果命题p，q中至少有一个真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：命题p：函数f（x）=lg（ax²-x+

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a）的定义域为R，对a分类讨论：当a≤0时，不满足条件，应舍去；当a＞0时，由于ax²-x+

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a＞0恒成立，可得△＜0．对于命题q：不等式3^x-9^x＜a对一切正实数都成立，可得a＞（3^x-9^x）_max．利用指数与二次函数的单调性即可得出．由于命题p，q中至少有一个真命题，求出上面的交集即可．

解答： 解：命题p：函数f（x）=lg（ax²-x+

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a）的定义域为R，
当a≤0时，不满足条件，应舍去；当a＞0时，∵ax²-x+

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a＞0恒成立，∴△＜0，∴1-a²＜0，解得a＞1或a＜-1．综上可得：a的取值范围是a＞1或a＜-1．
命题q：不等式3^x-9^x＜a对一切正实数都成立，∴a＞（3^x-9^x）_max．
令f（x）=3^x-9^x=-(3x-

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2

)2+

1

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≤

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．
∴a＞

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．
∵命题p，q中至少有一个真命题，
∴a的取值范围是a＞1或a＜-1或a＞

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4

．
因此实数a的取值范围是a＞

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4

或a＜-1．

点评：本题考查了指数函数与对数函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法、复合命题的真假判定方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．