Question

已知函数f（x）=-x³+x²，g（x）=alnx（a≠0，a∈R）．
（1）若对任意x∈[1，+∞），f（x）+g（x）≥-x³+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；
（2）证明：对n∈N^*，不等式

1

In(n+1)

+

1

In(n+2)

+…+

1

In(n+2013)

＞

2013

n(n+2013)

成立．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由g（x）≥-x²+（a+2）x分离出参数a后，转化为求函数最值，利用导数可求最值；
（2）由（1）得：

x2-2x

x-lnx

≥-1，x≥1，从而lnx≤x²-3x，得到

1

lnx

≥

1

x(x-3)

=

1

3

（

1

x-3

-

1

x

），代入整理即可．

解答： 解：（1）由对任意x∈[1，+∞]，都有f（x）+g（x）≥-x³+（a+2）x恒成立，得（x-lnx）a≤x²-2x，
由于x∈[1，+∞]，lnx≤1≤x，且等号不能同时取得，所以lnx＜x，x-lnx＞0．
从而a≤

x2-2x

x-lnx

恒成立，a≤（

x2-2x

x-lnx

）_min
设t（x）=

x2-2x

x-lnx

，x∈[1，+∞]，
求导，得t′（x）=

(x-1)(x+2-lnx)

(x-lnx)2

，x∈[1，+∞]，x-1≥0，lnx≤1，x+2-lnx＞0，
从而t′（x）≥0，t（x）在[1，+∞]上为增函数．
所以t（x）_min=t（1）=-1，所以a≤-1．
（2）由（1）得：

x2-2x

x-lnx

≥-1，x≥1，
∴lnx≤x²-3x，
∴

1

lnx

≥

1

x(x-3)

，
∴

1

In(n+1)

+

1

In(n+2)

+…+

1

In(n+2013)

≥

1

(n+1)(n-2)

+

1

(n+2)(n-1)

+…+

1

(n+2013)(n+2010)

=

1

3

（

1

n-2

-

1

n+1

+

1

n-1

-

1

n

+…+

1

n+2010

-

1

n+2013

）
=

1

3

（

1

n-2

+

1

n-1

+

1

n

-

1

n+2011

-

1

n+2012

-

1

n+2013

）
＞

2013

n(n+2013)

．

点评：该题考查利用导数研究函数的最值、函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．