Question

已知函数f（x）=x²+bx+c，且f（1）=0
（1）若函数f（x）是偶函数，求f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，求函数f（x）在[-1，3]上的最大、最小值；
（3）要使函数f（x）在[-1，3]上是单调函数，求b的范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（1）=0得1+b+c=0，由函数f（x）是偶函数得b=0，进而求出c值，可得f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，分析函数f（x）在[-1，3]上的单调性，进而可得函数f（x）在[-1，3]上的最大、最小值；
（3）f（x）=x²+bx+c的图象是开口朝上，且以直线x=-

b

2

为对称轴的抛物线，若f（x）=x²+bx+c在[-1，3]上是单调函数，则区间[-1，3]在对称轴的一侧，进而构造关于b的不等式，解得b的范围．

解答： 解：由f（1）=0，得1+b+c=0，①
（1）∵是偶函数，
∴f（-x）=f（x），
即x²-bx+c=x²+bx+c，
∴b=0，c=-1，
∴函数f（x）=x²-1；
（2）由（1）得f（x）=x²-1，
由f（x）=x²-1在[-1，0]上为减函数，在[0，3]上为增函数，
故当x=0时，函数f（x）取最小值-1；当x=3时，函数f（x）取最大值8；
（3）∵f（x）=x²+bx+c的图象是开口朝上，且以直线x=-

b

2

为对称轴的抛物线，
若f（x）=x²+bx+c在[-1，3]上是单调函数，
则-

b

2

≤-1，或-

b

2

≥3，
∴b≥2，或b≤-6，
即b的取值范围是（-∞，-6]∪[2，+∞）

点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，求函数的解析式，熟练熟练二次函数的图象和性质是解答的关键．