Question

已知函数f（x）满足f（x）=-f（6-x），f（x）=f（2-x），若f（a）=-f（2000），a∈[5，9]且f（x）在[5，9]上单调，求a的值．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由条件求得可得 f（x）=f（x+8），再根据 f（a）=-f（2000）=-f（8×250+0）=-f（0）=-f（6-6）=f（6），再结合a属于[5，9]，且f（x）在[5，9]上单调，从而求得a的值．

解答： 解：∵f（x）=-f（6-x），f（x）=f（2-x），即 f（x）=-f（6-x）=f（2-x），
-x用x-2换后可得 f（x）=-f（x+4）．
∴f（x+4）=-f（x），f（x+8）=f（x），其周期为8．
再根据 f（a）=-f（2000）=-f（250×8+0）=-f（0）=-f（6-6）=f（6），
又a∈[5，9]且f（x）在[5，9]上单调，易得a=6．

点评：本题主要考查抽象函数的性质，求得f（x）=-f（x+4），是解题的关键，属于基础题．