Question

已知x²+2y²=4x，求z=x²+y²的最大值及最小值．

Answer 1

考点：圆的一般方程,圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由已知得2y²=-x²+4x≥0，从而z=x²+y²=x²-

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（x²-4x）=

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(x2+4x)=

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（x+2）²-2，由此能求出z=x²+y²的最大值为32，最小值为0．

解答： 解：∵x²+2y²=4x，∴2y²=-x²+4x≥0，
∴0≤x≤4，
∴z=x²+y²=x²-

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（x²-4x）=

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(x2+4x)=

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（x+2）²-2，
∴x=0时，z取最小值0；
z的最大值在端点上取，当x=4或x=0时，
z取最大值32．
∴z=x²+y²的最大值为32，最小值为0．

点评：本题考查代数式的最大值和最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆性质的合理运用．