Question

设A₁，A₂，A₃，A₄是平面直角坐标系中两两不同的四点，若

A1A3

=λ

A1A2

（λ∈R），

A1A4

=μ

A1A2

（μ∈R），且

1

λ

+

1

μ

=2，则称A₃，A₄调和分割A₁，A₂，已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下面说法正确的是（　　）

• A、C可能是线段AB的中点
• B、D可能是线段AB的中点
• C、C、D可能同时在线段AB上
• D、C、D不可能同时在线段AB的延长线上

Answer 1

考点：向量加减混合运算及其几何意义

专题：新定义,平面向量及应用

分析：由题意可设A（0，0）、B（1，0）、C（c，0）、D（d，0），结合条件

1

c

+

1

d

=2，
根据题意考查方程

1

c

+

1

d

=2的解的情况，用排除法选出正确的答案即可．

解答： 解：由已知不妨设A（0，0）、B（1，0）、C（c，0）、D（d，0），
则（c，0）=λ（1，0），（d，0）=μ（1，0），
∴λ=c，μ=d；
代入

1

λ

+

1

μ

=2，得

1

c

+

1

d

=2；（*）
若C是线段AB的中点，则c=

1

2

，代入（*）得，d不存在，
∴C不可能是线段AB的中点，A错误；同理B错误；
若C，D同时在线段AB上，则0≤c≤1，0≤d≤1，代入（*）得，c=d=1，
此时C和D点重合，与已知矛盾，∴C错误．
若C，D同时在线段AB的延长线上时，则λ＞1．μ＞1，
∴

1

λ

+

1

μ

＜2，这与

1

λ

+

1

μ

=2矛盾；
∴C、D不可能同时在线段AB的延长线上，D正确．
故选：D．

点评：本题考查了新定义应用问题，解题时应正确理解新定义的含义，是易错题目．