Question

2．如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB=BE=EC=2，G是线段BE的中点，点F在线段CD上且GF∥平面ADE．
（Ⅰ）求CF长；
（Ⅱ）求平面AEF与平面AFG的夹角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以E为原点，EC为x轴，EB为y轴，过E作平面BEC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，由此利用向量法能求出CF．
（Ⅱ）求出平面AEF的法向量和平面AFG的法向量，利用向量法能求出平面AEF与平面AFG的夹角的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）以E为原点，EC为x轴，EB为y轴，
过E作平面BEC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则C（2，0，0），G（0，1，0），A（0，2，2），
D（2，0，2），E（0，0，0），设F（2，0，t），（0≤t≤2），
则$\overrightarrow{EA}$=（0，2，2），$\overrightarrow{ED}$=（2，0，2），$\overrightarrow{GF}$=（2，-1，t），
设平面ADE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EA}=2y+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{ED}=2x+2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，-1），
∵GF∥平面ADE，∴$\overrightarrow{GF}•\overrightarrow{n}$=2-1-t=0，解得t=1，
∴CF=t=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得F（2，0，1），$\overrightarrow{EF}$=（2，0，1），
$\overrightarrow{GF}$=（2，-1，1），$\overrightarrow{EA}$=（0，2，0），$\overrightarrow{GA}$=（0，1，2），
设平面AEF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=2x+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EA}=2y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，-2），
设平面AFG的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{GF}=2a-b+c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{GA}=b+2c=0}\end{array}\right.$，取c=1，得$\overrightarrow{m}$=（-$\frac{3}{2}$，-2，1），
设平面AEF与平面AFG的夹角为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{5}•\sqrt{\frac{29}{4}}}$=$\frac{\sqrt{145}}{145}$．

点评 本题考查线段长的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．