Question

设F₁，F₂是椭圆的两个焦点，点P是以线段F₁F₂为直径的圆与椭圆的一个交点，若∠PF₁F₂=5∠PF₂F₁，则此椭圆的离心率为（　　）

• A、

  2

  3

• B、

  6

  3

• C、

  2

  2

• D、

  3

  2

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由已知可得∠F₁PF₂=90°，再由∠PF₁F₂=5∠PF₂F₁求出∠PF₁F₂=15°，∠PF₂F₁=75°，结合正弦定理得到a，c的关系，则答案可求．

解答： 解：∵P是以F₁F₂为直径的圆与椭圆的一个交点，
∴∠F₁PF₂=90°，
∵∠PF₁F₂=5∠PF₂F₁，
∴∠PF₁F₂=15°，∠PF₂F₁=75°，
∴|PF₁|=|F₁F₂|sin∠PF₂F₁=2c•sin75°，
∴|PF₂|=|F₁F₂|sin∠PF₁F₂=2c•sin15°，
∴2a=|PF₁|+|PF₂|=2c•sin75°+2c•sin15°=4csin45°cos30°=4×

2

2

×

3

2

c=

6

c，
∴a=

6

2

c，
∴e=

c

a

=

6

3

．
故选：B．

点评：本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了椭圆定义的运用，是基础题．