【题目】设函数x∈R,其中a,b∈R.
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若f(x)存在极值点x0,且f(x1)= f(x0),其中x1≠x0,求证:x1+2x0=3;
(Ⅲ)设a>0,函数g(x)= |f(x)|,求证:g(x)在区间[0,2]上的最大值不小于.
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ)详见解析.
【解析】
试题(Ⅰ)先求函数的导数,再根据导函数零点是否存在,分类讨论;(Ⅱ)由题意得
,计算可得
.再由
及单调性可得结论;(Ⅲ)实质研究函数
最大值:主要比较
,
的大小即可,可分三种情况研究:①
;②
;③
.
试题解析:(Ⅰ)解:由,可得
.
下面分两种情况讨论:
(1)当时,有
恒成立,所以
的单调递增区间为
.
(2)当时,令
,解得
,或
.
当变化时,
,
的变化情况如下表:
+ | 0 | - | 0 | + | |
单调递增 | 极大值 | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
所以的单调递减区间为
,单调递增区间为
,
.
(Ⅱ)证明:因为存在极值点,所以由(Ⅰ)知
,且
,
由题意,得,即
,
进而.
又,且
,由题意及(Ⅰ)知,存在唯一实数
满足
,且
,因此
,所以
.
(Ⅲ)证明:设在区间
上的最大值为
,
表示
两数的最大值.下面分三种情况讨论:
(1)当时,
,由(Ⅰ)知,
在区间
上单调递减,所以
在区间
上的取值范围为
,因此
,
所以.
(2)当时,
,由(Ⅰ)和(Ⅱ)知,
,
,
所以在区间
上的取值范围为
,因此
.
(3)当时,
,由(Ⅰ)和(Ⅱ)知,
,
,
所以在区间
上的取值范围为
,因此
.
综上所述,当时,
在区间
上的最大值不小于
.
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【题目】先阅读参考材料,再解决此问题:
参考材料:求抛物线弧(
)与x轴及直线
所围成的封闭图形的面积
解:把区间进行n等分,得
个分点
(
),过分点
,作x轴的垂线,交抛物线于
,并如图构造
个矩形,先求出
个矩形的面积和
,再求
,即是封闭图形的面积,又每个矩形的宽为
,第i个矩形的高为
,所以第i个矩形的面积为
;
所以封闭图形的面积为
阅读以上材料,并解决此问题:已知对任意大于4的正整数n,
不等式恒成立,
则实数a的取值范围为______
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【题目】某公司要在一条笔直的道路边安装路灯,要求灯柱AB与底面垂直,灯杆BC与灯柱AB所在的平面与道路走向垂直,路灯C采用锥形灯罩,射出的管线与平面ABC部分截面如图中阴影所示,路宽AD=24米,设
(1)求灯柱AB的高h(用表示);
(2)此公司应该如何设置的值才能使制作路灯灯柱AB和灯杆BC所用材料的总长度最小?最小值为多少?
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【题目】设函数的定义域为
,如果存在非零常数
,对于任意
,都有
,则称函数
是“似周期函数”,非零常数
为函数
的“似周期”.现有下面四个关于“似周期函数”的命题:
①如果“似周期函数”的“似周期”为-1,那么它是周期为2的周期函数;
②函数是“似周期函数”;
③函数是“似周期函数”;
④如果函数是“似周期函数”,那么“
”.
其中是真命题的序号是 .(写出所有满足条件的命题序号)
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【题目】已知数列{an}的通项公式为 an=(n﹣k1)(n﹣k2),其中k1,k2∈Z:
(1)试写出一组k1,k2∈Z的值,使得数列{an}中的各项均为正数;
(2)若k1=1、k2∈N*,数列{bn}满足bn=,且对任意m∈N*(m≠3),均有b3<bm,写出所有满足条件的k2的值;
(3)若0<k1<k2,数列{cn}满足cn=an+|an|,其前n项和为Sn,且使ci=cj≠0(i,j∈N*,i<j)的i和j有且仅有4组,S1、S2、…、Sn中至少3个连续项的值相等,其他项的值均不相等,求k1,k2的最小值.
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【题目】设是数列
的前
项和,对任意
都有
成立(其中
是常数).
(1)当时,求
:
(2)当时,
①若,求数列
的通项公式:
②设数列中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“
数列”,如果
,试问:是否存在数列
为“
数列”,使得对任意
,都有
,且
,若存在,求数列
的首项
的所有取值构成的集合;若不存在.说明理由.
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【题目】(数学文卷·2017届重庆十一中高三12月月考第16题) 现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法:可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱,然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥,用这样一个几何体与半球应用祖暅原理(图1),即可求得球的体积公式.请研究和理解球的体积公式求法的基础上,解答以下问题:已知椭圆的标准方程为 ,将此椭圆绕y轴旋转一周后,得一橄榄状的几何体(图2),其体积等于______.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,曲线C上的点到点
的距离与它到直线
的距离之比为
,圆O的方程为
,曲线C与x轴的正半轴的交点为A,过原点O且异于坐标轴的直线与曲线C交于B,C两点,直线AB与圆O的另一交点为P,直线PD与圆O的另一交点为Q,其中
,设直线AB,AC的斜率分别为
;
(1)求曲线C的方程,并证明到点M的距离
;
(2)求的值;
(3)记直线PQ,BC的斜率分别为、
,是否存在常数
,使得
?若存在,求
的值,若不存在,说明理由.
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