Question

已知函数f（x）=log_a（3+x）+log_a（3-x），（a＞0且a≠1），
（1）当a=3时，求函数f（x）的定义域和值域；
（2）求关于x不等式f（x）＜0的解集．

Answer 1

考点：指、对数不等式的解法,函数的定义域及其求法,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）当a=3时，由函数f（x）的解析式可得：3+x＞0且3-x＞0，由此求得函数的定义域．进而根据对数的运算性质和对数函数的图象和性质，得到函数的值域；
（2）不等式f（x）＜0可化为log_a（3+x）•（3-x）＜log_aa，分当a＞1和当0＜a＜1时两种情况，分别利用函数的单调性和定义域，可求得要求的不等式的解集．

解答： 解：（1）当a=3时，f（x）=log₃（3+x）+log₃（3-x），
由3+x＞0且3-x＞0得：x∈（-3，3），
故函数f（x）的定义域为（-3，3），
又由f（x）=log₃（3+x）+log₃（3-x）=log₃（9-x²）中，
当x=0时，9-x²取最大值9，此时f（x）取最大值2，
可得求函数f（x）的值域为（-∞，2]；
（2）函数f（x）=log_a（3+x）+log_a（3-x）=log_a（9-x²），
当a＞1时，不等式f（x）＜0可化为：9-x²∈（0，1），
解得：x∈（-3，-2

2

）∪（2

2

，3），
当0＜a＜1时，不等式f（x）＜0可化为：9-x²∈（1，+∞），
解得：x∈（-2

2

，2

2

），
故当a＞1时，不等式f（x）＜0的解集为（-3，-2

2

）∪（2

2

，3），
当0＜a＜1时，不等式f（x）＜0的解集为（-2

2

，2

2

）．

点评：本题主要考查求函数的定义域、判断函数的奇偶性，对数不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．