Question

设函数f（x）=

1+x2

1-x2

．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）求证：f（

1

x

）+f（x）=0．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数的定义域及其求法

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由分式的分母不为0，解不等式，即可得到定义域；
（2）先判断定义域是否关于原点对称，再计算f（-x），与f（x）比较，即可得到奇偶性；
（3）计算f（

1

x

），再与f（x）求和，即可得证．

解答： （1）解：由解析式知，函数应满足1-x²≠0，即x≠1且x≠-1，
∴函数f（x）的定义域为{x∈R|x≠1且x≠-1}；
（2 ）解：由（1）知定义域关于原点对称，
f（-x）=

1+(-x)2

1-(-x)2

=

1+x2

1-x2

=f（x），
∴f（x）为偶函数；
（3）证明：∵f（

1

x

）=

1+ 1 x2

1- 1 x2

=

x2+1

x2-1

，f（x）=

1+x2

1-x2

，
∴f（

1

x

）+f （x）=

x2+1

x2-1

+

1+x2

1-x2

=

x2+1

x2-1

-

x2+1

x2-1

=0．

点评：本题考查函数的定义域的求法，及函数的奇偶性的判断，以及函数值的计算，考查运算能力，属于基础题．