Question

已知数列{a_n}满足a_n=2n-1，设函数f（n）=

an，n为奇数 f( n 2 )，n为偶数

，c_n=f（2ⁿ+4），n∈N₊，则：
（1）f（4）=

 

；
（2）设数列{c_n}的前n项和为T_n，则T_n=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的概念及简单表示法,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据解析式和a_n=2n-1求出f（4）=f（2）=f（1）=a₁=1；
（2）再由c_n=f（2ⁿ+4）分别求出c₁、c₂，当n≥3时根据自变量是偶数、奇数得：c_n=f（2ⁿ+4）=f（2^n-1+2）=f（2^n-2+1），代入通项公式c_n化简后，对n分类讨论分能求出T_n．

解答： 解：（1）由题意得，函数f（n）=

an，n为奇数 f( n 2 )，n为偶数

，且a_n=2n-1，
∴f（4）=f（2）=f（1）=a₁=1，
（2）∵c_n=f（2ⁿ+4），n∈N₊，
∴c₁=f（6）=f（3）=a₃=5，c₂=f（8）=f（4）=1，
当n≥3时，c_n=f（2ⁿ+4）=f（2^n-1+2）=f（2^n-2+1）
=a2n-2+1=2×(2n-2+1)-1=2^n-1+1，
∴n≥2时，T_n=5+1+（2²+1）+（2³+1）+…+（2^n-1+1）
=1+2+2²+2³+…+2^n-1+n+1
=2ⁿ+n，
则T_n=

5，n=1 2n+n，n≥2

，
故答案为：（1）1；（2）

5，n=1 2n+n，n≥2

．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，数列与函数结合问题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．