Question

11．如图，已知四边形ABDC是圆O的内接四边形，B，D是圆O上的动点，AD与BC交于F，圆O的切线CE（C为切点）与线段AB的延长线交于E，∠BCD=∠CBD．
（1）证明：CD是∠BCE的平分线；
（2）若AD过圆心，BC=BE，AE=2，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）由CE是圆的切线，可得∠ECD=∠CBD，又∠BCD=∠CBD，即可证明．
（2）由AD为直径，易得BD⊥AB，AC⊥CD，AC=AB，AC=EC=AB，由切割线定理得BC²=AE•BE，即可得出．

解答 （1）证明：∵CE是圆的切线，∴∠ECD=∠CBD，又∠BCD=∠CBD，
∴∠ECD=∠BCD，CD是∠BCE的平分线．
（2）解：∵AD为直径，易得BD⊥AB，AC⊥CD，AC=AB，
∵BC=BE，∴∠=BEC=∠BCE=EAC，∴AC=EC=AB，
由切割线定理得BC²=AE•BE，即AB²=AE•（AE-AB），
即AB²+2AB-4=0，解得AB=$\sqrt{5}$-1．

点评 本题考查了圆的切线的性质、切割线定理、角平分线的性质、等腰三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．