Question

设定点P在圆周x²+y²=1上，若Q，R在x²+y²=1的内部或圆周上，且△PQR为边长是

3

2

的正三角形，则OQ²+OR²最大值为

 

．

Answer 1

考点：点到直线的距离公式

专题：平面向量及应用

分析：根据题意判断出圆心O在∠QPR内．利用向量减法的几何意义表示

OQ

=

OQ

-

OP

，

OR

=

OR

-

OP

，则

OQ

2+

OR

2=(

OQ

-

OP

)2+(

OR

-

OP

)2，根据数量积的运算化简，并根据三角函数的性质之求其最大值即可．

解答： 解∵P在圆周x²+y²=1上，△PQR为边长是

3

2

的正三角形，Q，R在x²+y²=1的内部或圆周上，
∴圆心O在∠QPR内．
∴

OQ

=

OQ

-

OP

，

OR

=

OR

-

OP

，
∴

OQ

2+

OR

2=(

OQ

-

OP

)2+(

OR

-

OP

)2
=2

OP

2+

PQ

2+

PR

2-2

OP

•

PQ

-2

OP

•

PR

=

7

2

-2|

OP

||

PQ

|cos∠OPQ-2|

OP

||

PR

|cos∠OPR
=

7

2

-

3

（cos∠OPQ+cos∠OPR）
=

7

2

-2

3

cos（

∠OPQ+∠OPR

2

）•cos（

∠OPQ-∠OPR

2

）
=

7

2

-2

3

cos30°cos（

∠OPQ-∠OPR

2

）
≤

7

2

-3=

1

2

•
故答案为：

1

2

．

点评：本题考查向量减法，数量积运算，以及三角恒变换和三角函数性质的应用，属于中档题．