Question

2．已知函数f（x）=（ax-x²）e^x．
（Ⅰ）当a=2时，求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在（-1，1]上单调递增，求a的取值范围；
（Ⅲ）函数f（x）是否可为R上的单调函数？若是，求出a的取值范围，若不是，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=2时，求得函数解析式和导函数，令f′（x）≤0，求得x的取值范围，即可求得f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）由题意可知，将函数f（x）在（-1，1]上单调递增，转化成f′（x）≥0，对于x∈（-1，1]都成立，采用分离变量法，构造辅助函数求得函数的最大值，求得a的取值范围；
（Ⅲ）分类讨论当若函数f（x）为R上单调递增函数或单调递减，即f′（x）≥0或f′（x）≤0，对于x∈都成立，根据二次函数的性质判断是否满足条件，即可判断f（x）是否可为R上的单调函数．

解答 解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=（2x-x²）e^x．
f′（x）=（2-2x）e^x+（2x-x²）e^x，
=（2-x²）e^x，
令f′（x）≤0，2-x²≤0，解得：x≤-$\sqrt{2}$或x≥$\sqrt{2}$，
所以单调f（x）的单调递减区间为（-∞，-$\sqrt{2}$）和（$\sqrt{2}$，+∞），
（Ⅱ）函数f（x）在（-1，1]上单调递增，
所以f′（x）≥0，对于x∈（-1，1]都成立，
即f′（x）=[a+（a-2）x-x²]e^x≥0，对于x∈（-1，1]都成立，
故有a≥$\frac{{x}^{2}+2x}{x+1}$=x+1-$\frac{1}{x+1}$，
令g（x）=x+1-$\frac{1}{x+1}$，则g′（x）=1+$\frac{1}{（x+1）^{2}}$＞0，
故g（x）在（-1，1]上单调递增，g（x）_max=g（1）=$\frac{3}{2}$，
∴a的取值范围是[$\frac{3}{2}$，+∞）；
（Ⅲ）假设f（x）为R上单调函数，则为R上单调递增函数或R上单调递减函数，
①若函数f（x）为R上单调递增函数，则f′（x）≥0，对于x∈都成立，
即[a+（a-2）x-x²]e^x≥0恒成立．
由e^x＞0，x²-（a-2）x-a≤0对于x∈R都恒成立，
由h（x）=x²-（a-2）x-a的开口向上的抛物线，
则h（x）≤0，不可能恒成立，
所以f（x）不可能为R上的单调增函数，
②若函数f（x）为R上单调递减函数，则f′（x）≤0，对于x∈都成立，
即[a+（a-2）x-x²]e^x≤0恒成立，
由e^x＞0，x²-（a-2）x-a≥0对于x∈R都恒成立，
故由△=（a-2）²+4a≤0，整理得：a²+4≤0，显然不成立，
所以，f（x）不能为R上的单调递减函数，
综上，可知函数f（x）不可能为R上的单调函数．

点评 本题考查导数知识综合运用，考查函数的单调性，二次函数图象及性质，函数的恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题