Question

19．如图，有一块矩形空地ABCD，要在这块空地上开辟一个内接四边形EFGH为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB=a（a＞2），BC=2，且AE=AH=CF=CG，设AE=x，绿地EFGH面积为y．
（1）写出y关于x的函数解析式，并求出它的定义域；
（2）当AE为何值时，绿地面积y最大？并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）求得S_△AEH=S_△CGF=$\frac{1}{2}$x²，S_△BEF=S_△DGH=$\frac{1}{2}$（a-x）（2-x），利用y=S_ABCD-2（S_△AEH+S_△BEF），化简即得结论；
（2）通过（1）可知y=-2x²+（a+2）x的图象为开口向下、对称轴是x=$\frac{a+2}{4}$的抛物线，比较$\frac{a+2}{4}$与2的大小关系并结合函数的单调性即得结论．

解答 解：（1）由AE=AH=CF=CG，
依题意，S_△AEH=S_△CGF=$\frac{1}{2}$x²，
S_△BEF=S_△DGH=$\frac{1}{2}$（a-x）（2-x），
则y=S_ABCD-2S_△AEH-2S_△BEF=2a-x²-（a-x）（2-x）=-2x²+（a+2）x，
由题意$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{a-x＞0}\\{2-x≥0}\\{a＞2}\end{array}\right.$，解得：0＜x≤2，
∴y=-2x²+（a+2）x，其中定义域为（0，2]；
（2）∵y=-2x²+（a+2）x的图象为抛物线，其开口向下、对称轴是x=$\frac{a+2}{4}$，
∴y=-2x²+（a+2）x在（0，$\frac{a+2}{4}$）递增，在（$\frac{a+2}{4}$，+∞）上递减．
若$\frac{a+2}{4}$＜2，即a＜6，则x=$\frac{a+2}{4}$时，y取最大值$\frac{（a+2）^{2}}{8}$；
若$\frac{a+2}{4}$≥2，即a≥6，则y=-2x²+（a+2）x，0＜x≤2是增函数，
故当x=2时，y取最大值2a-4；
综上所述：若a＜6，则AE=$\frac{a+2}{4}$时绿地面积取最大值$\frac{（a+2）^{2}}{8}$；
若a≥6，则AE=2时绿地面积取最大值2a-4．

点评 本题考查函数模型的选择与应用，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．