Question

若数列满足,则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数．
（Ⅰ）证明数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中“平方递推数列”的前项积为，即，求；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记，求数列的前项和，并求使的的最小值．

Answer 1

(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)； (Ⅲ），

解析试题分析：(Ⅰ)将点的坐标代入函数解析式得，由定义可知是“平方递推数列”. 由得是以为首项，2为公比的等比数列；
（Ⅱ)先由(Ⅰ)中等比数列得，故：；
(Ⅲ）先求得，再求，由，得，从而解得.
试题解析：（I）由题意得：， 即 ，
则是“平方递推数列”．                        2分
又有得是以为首项，2为公比的等比数列．4分
（II）由（I）知 ，                    5分
．8分
（III） ，                            9分
 ，                               10分
又，即，，
又 ， ．                          13分
考点：1.等比数列的判定；2.数列求和；3.数列不等式的解法