Question

1．已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分图象，如图所示．
（1）求函数解析式，并求出函数的单调增区间；
（2）若方程f（x）=m在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{13π}{12}$]有两个不同的实根，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）由题意可得直线y=m和函数f（x）的图象在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{13π}{12}$]有两个不同的交点，数形结合求得m的范围．

解答 解：（1）由函数f（x）=cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分图象，
可得$\frac{1}{2}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{5π}{6}-\frac{π}{3}$，求得ω=2．
再根据五点法作图可得2•$\frac{π}{3}$+φ=π，∴φ=$\frac{π}{3}$，f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）．
令2kπ+π≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+2π，求得kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$，
∴函数f（x）的增区间为[kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{6}$]，k∈Z．
（2）若方程f（x）=m在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{13π}{12}$]有两个不同的实根，
故直线y=m和函数f（x）的图象在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{13π}{12}$]有两个不同的交点．
数形结合可得m=1或 m∈（-1，0）．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，方程根的存在性以及个数的判断，属于基础题．