Question

5．已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{2}$，求通项a_n．

Answer 1

分析 把已知的递推式变形，得到a_n+1-1=$\frac{1}{2}$（a_n-1），结合a₁=2，可得数列{a_n-1}为等比数列，则数列{a_n}的通项公式a_n可求．

解答 解：由a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{2}$，可得2a_n+1=a_n+1，得2a_n+1-2=a_n-1，
∴2（a_n+1-1）=a_n-1，即a_n+1-1=$\frac{1}{2}$（a_n-1）．
∵a₁=2，∴a₁-1=1，
则a₂-1=$\frac{1}{2}$，
{a_n-1}是等比数列，首项为1，等比为：$\frac{1}{2}$．
a_n-1=1×$（{\frac{1}{2}）}^{n-1}$，a_n=$（{\frac{1}{2}）}^{n-1}+1$．
∴数列{a_n}的通项公式为：a_n=$（{\frac{1}{2}）}^{n-1}+1$．

点评 本题考查了数列递推式，关键是对递推公式的变形，是中档题．