Question

7．求下列函数的反函数．
（1）y=cosx，x∈[-$\frac{1}{2}$π，0]；
（2）y=cosx，x∈[-π，0]；
（3）y=cos（2x-$\frac{π}{3}$），x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{2π}{3}$]；
（4）y=arccos（x+1），x∈[-2，0]；
（5）y=$\frac{π}{2}$+arccos$\frac{x}{2}$．

Answer 1

分析 用y表示出x，得出其反函数，根据原函数的定义域求出值域，即为反函数的定义域．

解答 解：（1）∵x∈[-$\frac{1}{2}π$，0]，∴-x∈[0，$\frac{π}{2}$]，y∈[0，1]．
又y=cosx=cos（-x），∴-x=arccosy，即x=-arccosy，
∴原函数的反函数为y：=-arccosx，x∈[0，1]，
（2））∵x∈[-π，0]，∴-x∈[0，π]，y∈[-1，1]．
又y=cosx=cos（-x），∴-x=arccosy，即x=-arccosy，
∴原函数的反函数为：y=-arccosx，x∈[-1，1]，
（3））∵x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{2π}{3}$]，∴2x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，π]，y∈[-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．
又y=cosx（2x-$\frac{π}{3}$），∴2x-$\frac{π}{3}$=arccosy，∴x=$\frac{1}{2}$arccosy+$\frac{π}{6}$，
∴原函数的反函数为：y=$\frac{1}{2}$arccosx+$\frac{π}{6}$，x∈[-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，
（4）∵x∈[-2，0]，∴x+1∈[-1，1]，y∈[0，π]．
∵y=arccos（x+1），∴x+1=cosy，即x=cosy-1，
∴原函数的反函数为：y=cosx-1，x∈[0，π]，
（5）∵y=$\frac{π}{2}$+arccos$\frac{x}{2}$，∴y∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$]．
∴y-$\frac{π}{2}$=arccos$\frac{x}{2}$，∴$\frac{x}{2}$=cos（y-$\frac{π}{2}$）=siny，
∴x=2siny，
∴原函数的反函数为：y=2sinx，x∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$]．

点评 本题考查了反余弦函数的性质，需要对定义域的范围进行变换．属于中档题．