Question

在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且

3

a-2csinA=0．
（1）求角C的大小；
（2）若c=2，求证：a+b≤4．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，根据sinA不为0求出sinC的值，即可确定出C的度数；
（2）利用正弦定理列出关系式，将c与sinC的值代入求出2R的值，表示出a与b，进而表示出a+b，利用和差化积公式变形后，把2R与sin

A+B

2

的值代入计算，利用余弦函数的值域确定出a+b的最大值，即可确定出a+b的范围．

解答： 解：（1）在锐角三角形ABC中，

3

a-2csinA=0，
利用正弦定理化简得：

3

sinA-2sinCsinA=0，即sinA（

3

-2sinC）=0，
∵sinA≠0，
∴sinC=

3

2

，
则C=60°；
（2）∵c=2，sinC=

3

2

，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，得：2R=

2

3 2

=

4 3

3

，
∴a+b=2RsinA+2RsinB=2R（sinA+sinB）=2R•2sin

A+B

2

cos

A-B

2

=4cos

A-B

2

，
当A-B=0，即A=B时，a+b的最大值为4，
则a+b≤4．

点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．