Question

如图1，AB、AC是⊙O的切线，B、C为切点，ADE是⊙O的割线．

（1）求证：CD•AE=AB•CE；
（2）在图1中，使线段AC绕A旋转，得到图2，（1）的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，说明你的理由．

Answer 1

考点：圆內接多边形的性质与判定,与圆有关的比例线段

专题：立体几何

分析：（1）由已知得AB=AC，∠ACD=∠AEC，∠DAC=∠CAE，从而△ADC∽△ACE，由此能证明CD•AE=AB•CE．
（2）使线段AC绕A旋转，得到图2，（1）的结论不成立．旋转之后，∠ACD=∠AEC不一定成立，△ADC∽△ACE不成立，从而CD•AE=AB•CE不成立．

解答： （1）证明：∵AB、AC是⊙O的切线，B、C为切点，
∴AB=AC，∠ACD=∠AEC，∠DAC=∠CAE，
∴△ADC∽△ACE，
∴

AE

AC

=

CE

CD

，
∴CD•AE=AC•CE，
∴CD•AE=AB•CE．
（2）解：使线段AC绕A旋转，得到图2，（1）的结论不成立．
∵旋转之后，AB=AC，∠DAC=∠CAE，
但∠ACD=∠AEC不一定成立，
∴△ADC∽△ACE不成立，
∴CD•AE=AB•CE不成立．

点评：本题考查线段乘积相等的证明，考查旋转后线段乘积是否相等的判断，是中档题，解题时要注意弦切角性质和切线性质的合理运用．