Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=4，a_n=4a_n-1-3a_n-2（n≥3）
（1）求a₄的值；
（2）证明：数列{a_n-a_n-1}（n≥2）是等比数列；
（3）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用递推思想能求出a₄．
（2）由已知条件推导出

an-an-1

an-1-an-2

=3，由此能证明数列{a_n-{a_n-1}（n≥2）是首项为4-1=3，公比为3的等比数列．
（3）由（2）知n≥2时，a_n-a_n-1=3•3^（n-1）-1=3^n-1，由此利用累加法能求出数列{a_n}的通项公式．

解答： （1）解：∵数列{a_n}中，a₁=1，a₂=4，a_n=4a_n-1-3a_n-2（n≥3），
∴a₃=4a₂-3a₁=4×4-3×1=13，
a₄=4a₃-3a₂=4×13-3×4=40．
（2）证明：∵a_n=4a_n-1-3a_n-2（n≥3），
∴a_n-a_n-1=3a_n-1-3a_n-2=3（a_n-1-a_n-2），
∴

an-an-1

an-1-an-2

=3，
∴数列{a_n-a_n-1}（n≥2）是首项为4-1=3，公比为3的等比数列．
（3）解：由（2）知n≥2时，
a_n-a_n-1=3•3^（n-1）-1=3^n-1，
∴an-an-1=3n-1，
an-1-an-2=3n-2，
a_n-2-a_n-3=3^n-3，
…
a4-a3=33，
a3-a2=32，
a₂-a₁=3，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=1+3+3²+3³+…+3^n-1
=

1×(1-3n)

1-3

=

3n-1

2

．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意累加法的合理运用．