Question

已知函数f(x)＝k(x－1)e^x＋x².

(1)当k＝－时，求函数f(x)在点(1,1)处的切线方程；

(2)若在y轴的左侧，函数g(x)＝x²＋(k＋2)x的图象恒在f(x)的导函数f′(x)图象的上方，求k的取值范围；

(3)当k≤－1时，求函数f(x)在[k,1]上的最小值m.

Answer 1

【解】　(1)当k＝－时，f(x)＝－(x－1)e^x＋x²，f′(x)＝－xe^x－1＋2x，f′(1)＝1，

函数f(x)在点(1,1)处的切线方程为y＝x.

(2)f′(x)＝kx<x²＋(k＋2)x，

即kxe^x－x²－kx<0.

因为x<0，所以ke^x－x－k>0，

令h(x)＝ke^x－x－k，则h′(x)＝ke^x－1.

当k≤0时，h(x)在(－∞，0)上为减函数，h(x)>h(0)＝0，符合题意；

当0<k≤1时，h(x)在(－∞，0)上为减函数，h(x)>h(0)＝0，符合题意

当k>1时，h(x)在(－∞，－ln k)上为减函数，在(－ln k，0)上为增函数，h(－ln k)<h(0)＝0，不合题意．

综上：k≤1.