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(本题满分12分)
已知函数f (x)=-ax3x2+(a-1)x (x>0),(aÎR).
(Ⅰ)当0<a时,讨论f (x)的单调性;
(Ⅱ)若f (x)在区间(a, a+1)上不具有单调性,求正实数a的取值范围.

(1)当0<a时,f (x)在(0,1),(-1,+¥)递减;在(1, -1)递增
(2)(0,)∪(,1).

解析试题分析:解:(Ⅰ) f (x)的定义域为.
=-a(x-1)[x-(-1)].               ……2分
当0<a时,-1>1,
f (x)在(0,1),(-1,+¥)递减;在(1, -1)递增;           ……4分
(Ⅱ) f (x)在区间上不具有单调性等价于f (x)在区间内至少有一个极值点.             ……5分
①当a时,f ¢(x)=- (x-1)2≤0Þf (x)在上递减,不合题意; …7分
②当a≥1时,f ¢(x)=0的两根为x1=1,x2-1,∵,故不合题意;③当,且a时,f (x)在区间上不具有单调性等价于:

,且a.                                         ……11分
综上可知,所求的取值范围是(0,)∪(,1).                     ……12分
考点:本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。
点评:这类问题的解决一般主要涉及两类题型,求解单调区间,同时证明不等式恒成立问题。前者经常要对于参数分类讨论,注意对于一元二次不等式的熟练运用,是解决这个题型的关键,后者主要是求解函数的最值来证明不等式。如果递增,则说明函数在给定区间上导数恒大于等于零,反之,则恒小于等于零。来分离参数的思想求解参数的范围。

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