(本题满分12分)
已知函数f (x)=-ax3+x2+(a-1)x- (x>0),(aÎR).
(Ⅰ)当0<a<时,讨论f (x)的单调性;
(Ⅱ)若f (x)在区间(a, a+1)上不具有单调性,求正实数a的取值范围.
(1)当0<a<时,f (x)在(0,1),(-1,+¥)递减;在(1, -1)递增
(2)(0,)∪(,1).
解析试题分析:解:(Ⅰ) f (x)的定义域为.
=-a(x-1)[x-(-1)]. ……2分
当0<a<时,-1>1,
∴f (x)在(0,1),(-1,+¥)递减;在(1, -1)递增; ……4分
(Ⅱ) f (x)在区间上不具有单调性等价于f (x)在区间内至少有一个极值点. ……5分
①当a=时,f ¢(x)=- (x-1)2≤0Þf (x)在上递减,不合题意; …7分
②当a≥1时,f ¢(x)=0的两根为x1=1,x2=-1,∵,故不合题意;③当,且a≠时,f (x)在区间上不具有单调性等价于:
或
,且a≠. ……11分
综上可知,所求的取值范围是(0,)∪(,1). ……12分
考点:本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。
点评:这类问题的解决一般主要涉及两类题型,求解单调区间,同时证明不等式恒成立问题。前者经常要对于参数分类讨论,注意对于一元二次不等式的熟练运用,是解决这个题型的关键,后者主要是求解函数的最值来证明不等式。如果递增,则说明函数在给定区间上导数恒大于等于零,反之,则恒小于等于零。来分离参数的思想求解参数的范围。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分14分)已知函数 (R).
(1)若,求函数的极值;
(2)是否存在实数使得函数在区间上有两个零点,若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本题满分12分)
把边长为的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形(如图阴影部分)后,用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器(不计接缝),设容器的高为,容积为.
(Ⅰ)写出函数的解析式,并求出函数的定义域;
(Ⅱ)求当x为多少时,容器的容积最大?并求出最大容积.
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