Question

如图是函数f（x）=x³+ax²+bx+c的大致图象，则|x₁-x₂|=（　　）

• A、

  4

  3

• B、

  8

  3

• C、

  2 3

  3

• D、

  2 6

  3

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：由函数f（x）的图象过三个已知点，可求出a、b、c，即函数f（x）的解析式；然后求出其导函数f′（x）；而x₁、x₂是方程f′（x）=0的两根，则利用韦达定理即可得到结论．

解答： 解：∵函数f（x）=x³+ax²+bx+c的零点有1、0、2．
∴

f(0)=0 f(1)=0 f(2)=0

，即

c=0 1+a+b+c=0 8+4a+2b+c=0

，解得a=-3，b=2，c=0．
∴f（x）=x³-3x²+2x，
∴f′（x）=3x²-6x+2．
又x₁、x₂是f（x）的两个极值点，∴x₁、x₂是方程3x²-6x+2=0的两个根．
则x₁+x₂=

6

3

=2，x₁•x₂=

2

3

因此|x₁-x₂|²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=4-4×

2

3

=

4

3

．
∴|x₁-x₂|=

4 3

=

2 3

3

，
故选：C．

点评：本题主要考查函数的导数的应用．确定函数的解析式，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．