Question

6．已知定义在R上的函数f（x）对任意实数x满足f（x+2）=f（x），f（2-x）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x²+1，则方程$f（x）=\frac{1}{2}|x|$的解的个数为（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 6
• D． 8

Answer 1

分析 利用周期和对称性作出f（x）的函数图象，根据f（x）与y=$\frac{1}{2}$|x|的函数图象的交点个数得出结论．

解答 解：∵f（x+2）=f（x），∴f（x）的周期为2，
∵f（2-x）=f（x），∴f（x）的图象关于直线x=1对称，
作出y=f（x）与y=$\frac{1}{2}$|x|的函数图象如图所示：

由图象可知两函数图象共有6个交点，
∴方程f（x）=$\frac{1}{2}$|x|共有6个解．
故选C．

点评 本题考查了方程的解与函数图象的关系，属于中档题．