Question

已知椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）抛物线C₂：y²=2px，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：

x	0	4	2	1
y	2	4	3	2

（1）求C₁，C₂的标准方程；
（2）四边形ABCD的顶点在椭圆C₁上，且对角线AC、BD过原点O，若k_AC•k_BD=-

2p

a2

，
（i） 求

OA

•

OB

的最值．
（ii） 求四边形ABCD的面积．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,向量在几何中的应用

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由表格可知：点（0，2）在椭圆上，可得b=2，椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

4

=1，把其余的点代入可得：只有点（

2

，

3

）可能在椭圆上，代入

2

a2

+

3

b2

=1，解得a²=8，即可得出椭圆的方程．同理可得抛物线的方程．
（2））（i）设直线AB的方程为y=kx+m，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．联立

y=kx+m x2+2y2=8

，可得根与系数的关系，再利用数量积运算、已知条件即可得出；
（ii）利用弦长公式、点到直线的距离公式可得S_△AOB，即可得出四边形ABCD的面积．

解答： 解：（1）由表格可知：点（0，2）在椭圆上，∴b=2，可得椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

4

=1，把其余的点代入可得：只有点（

2

，

3

）可能在椭圆上，代入

2

a2

+

3

b2

=1，解得a²=8，椭圆的方程为

x2

8

+

y2

4

=1．
把点（4，4）代入抛物线上，∴4²=2p×4，解得p=2，可得抛物线方程为y²=4x．
经过验证（1，2）满足上述方程．
综上可得：椭圆C₁的方程为

x2

8

+

y2

4

=1，抛物线C₂方程为y²=4x．
（2）（i）设直线AB的方程为y=kx+m，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

y=kx+m x2+2y2=8

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-8）=8（8k²-m²+4）＞0，①
∴x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，x₁x₂=

2m2-8

1+2k2

．
∵k_OA•k_OB=k_AC•k_BD=-

2p

a2

=-

1

2

．∴

y1y2

x1x2

=-

1

2

．
∴y₁y₂=-

1

2

x1x2=-

1

2

•

2m2-8

1+2k2

=-

m2-4

1+2k2

．
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=k2×

2m2-8

1+2k2

+km•

-4km

1+2k2

+m²=

m2-8k2

1+2k2

，
∴-

m2-4

1+2k2

=

m2-8k2

1+2k2

，∴-（m²-4）=m²-8k²，∴4k²+2=m²．

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

2m2-8

1+2k2

-

m2-4

1+2k2

=

m2-4

1+2k2

=

4k2+2-4

1+2k2

=2-

4

1+2k2

．
∴-2≤

OA

•

OB

＜2．
当k=0（此时m²=2满足①式），即直线AB平行于x轴时，

OA

•

OB

的最小值为-2．
又直线AB的斜率不存在时

OA

•

OB

=2，∴

OA

•

OB

的最大值为2．
（ii）设原点到直线AB的距离为d，则S_△AOB=

1

2

|AB|•d=

1

2

•

1+k2

|x2-x1|•

|m|

1+k2

=

|m|

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

|m|

2

•

( -4km 1+2k2 )2-4× 2m2-8 1+2k2

=

|m|

2

•

64k2 m2 - 16(m2-4) m2

=2

4k2-m2+4

=2

2

．
∴S_{四边形ABCD}=4S_△AOB=8

2

．

点评：本题考查了抛物线与椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、数量积运算、三角形与四边形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．