Question

已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中所有棱长都为2，底面ABCD为正方形，侧面DD₁C₁C⊥底面ABCD，∠D₁DC=60°
（Ι）证明：平面CDD₁C₁⊥平面DAA₁D₁；
（Ⅱ）若O为底面ABCD的对角线交点，求四面体B₁-A₁OC₁的体积．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ι）利用平面与平面垂直的性质，可得AD⊥侧面DD₁C₁C，即可证明：平面CDD₁C₁⊥平面DAA₁D₁；
（Ⅱ）过D₁作D₁E⊥DC，垂足为E，则D₁E⊥底面ABCD，可得O到平面B₁A₁C₁的距离为

3

，即可求四面体B₁-A₁OC₁的体积．

解答： （Ⅰ）证明：∵侧面DD₁C₁C⊥底面ABCD，侧面DD₁C₁C∩底面ABCD=CD，AD⊥CD，
∴AD⊥侧面DD₁C₁C，
∵AD?平面DAA₁D₁，
∴平面CDD₁C₁⊥平面DAA₁D₁；
（Ⅱ）解：过D₁作D₁E⊥DC，垂足为E，则D₁E⊥底面ABCD，
∵D₁D=2，∠D₁DC=60°
∴D₁E=

3

，即四棱柱的高为

3

，
∵O为底面ABCD的对角线交点，
∴O到平面B₁A₁C₁的距离为

3

，
∴B₁-A₁OC₁的体积为

1

3

×2×2×

3

=

4 3

3

．

点评：本题考查平面与平面垂直的判定，考查锥体体积的计算，正确运用平面与平面垂直的判定与性质是关键．