Question

在平面内，不等式确定的平面区域为，不等式组确定的平面区域为.
（1）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”．在区域任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域的概率；
（2）在区域每次任取个点，连续取次，得到个点，记这个点在区域的个数为，求的分布列和数学期望．

Answer 1

（1）
（2）的分布列为

	0	1	2	3

 
的数学期望为.

解析试题分析：（1）作出平面区域和平面区域，打出网格，找出整点，数出在区域中整点的个数及这些点落在区域中的个数，运用排列组合知识和古典概型公式求出所求事件的概率；（2）由独立重复试验的概念知，每次在区域中取一点该点落在区域内的概率为定值，取3次，的3个点，落在区域内点的个数服从二项分布，根据二项分布的概率公式和期望公式即可求出分布列与期望.
试题解析：（1）依题可知平面区域的整点为：共有13个，上述整点在平面区域的为：共有3个，
∴．                         （4分）
（2）依题可得，平面区域的面积为，
平面区域与平面区域相交部分的面积为.
（设扇形区域中心角为，则得，也可用向量的夹角公式求）.
在区域任取1个点，则该点在区域的概率为，随机变量的可能取值为：.
，，
，，
∴的分布列为

	0	1	2	3

 
∴的数学期望：.     （12分）
（或者：～，故）.
考点：二元一次不等式组表示的平面区域，古典概型，二项分布