Question

18．已知等比数列{a_n}的各项为正数，且 9a₃²=a₂a₆，a₃=2a₂+9．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，求数列$\left\{{\frac{1}{b_n}}\right\}$的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）根据等比数列的性质计算首项和公比，得出通项公式；
（2）利用对数运算性质计算b_n，使用裂项法求和．

解答 解：（1）设数列N的公比为q，
∵9a₃²=a₂a₆，即9a₂²q²=a₂•a₂q⁴，解得q²=9．
又q＞0，则q=3，
∵a₃=2a₂+9，即9a₁=6a₁+9，解得a₁=3，
∴${a_n}={3^n}$．
（2）a₁a₂…a_n=3^1+2+3+…+n=3${\;}^{\frac{n（n+1）}{2}}$，
∴b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n=log₃（a₁a₂…a_n）=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{b_n}=\frac{2}{n（n+1）}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴${S_n}=2[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]=2（1-\frac{1}{n+1}）=\frac{2n}{n+1}$．

点评 本题考查了等比数列的性质，数列求和，属于中档题．