Question

9．对a，b∈R，记max{a，b}=$\left\{\begin{array}{l}{a（a≥b）}\\{b（a＜b）}\end{array}\right.$，则函数f（x）=max{|x+1|，x²}（x∈R）的最小值是（　　）

• A． $\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
• B． $\frac{3+\sqrt{5}}{2}$
• C． $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
• D． $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$

Answer 1

分析 讨论当|x+1|≥x²，|x+1|＜x²时，求出f（x）的解析式，由单调性可得最小值．

解答 解：当|x+1|≥x²，即x+1≥x²或x+1≤-x²，
解得$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$≤x≤$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$时，
∴f（x）=max{|x+1|，x²}=|x+1|=x+1，函数f（x）单调递减，f（x）_min=f（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，
当x＜$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，f（x）=max{|x+1|，x²}=x²，函数f（x）单调递减，f（x）_min=f（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，
当x＞$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$时，f（x）=x²，函数f（x）单调递增，f（x）_min=f（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$
综上所述：f（x）_min=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，
故选：A．

点评 本题考查函数的最值的求法，考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论的思想方法，以及函数的单调性，属于中档题．