Question

13．设函数f（x）=-a²x²+2a²x+2（a∈R），若f（x）＞0在x∈（-2，2）上恒成立，则a的取值范围是（　　）

• A． -$\frac{1}{12}＜a≤\frac{1}{2}$
• B． $a≤-\frac{1}{12}$或$a＞\frac{1}{2}$
• C． -4＜a≤2
• D． $-\frac{1}{2}≤a≤\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 对a=0和a≠0进行讨论，当a≠0时，根据一元二次方程根的分布进行求解即可．

解答 解：①当a=0时，函数f（x）=-a²x²+2a²x+2=2恒大于0，在x∈（-2，2）上恒成立．
②当a≠0时，函数f（x）开口向下，对称轴x=1，图象恒过（0，2），f（2）＞0，要使f（x）＞0在x∈（-2，2）上恒成立，只需要f（-2）≥0即可，解得：$-\frac{1}{2}≤a＜0$或$0＜a≤\frac{1}{2}$．
综上所得：a的取值范围是{a|$-\frac{1}{2}≤a≤\frac{1}{2}$}；
故选D．

点评 本题考查了二次函数的恒成立问题．属于中档题．