Question

19．在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A=2AB=2，平面α过定点A，平面α∥平面A₁BC，面α∩平面ABC=m，面α∩平面A₁C₁C=n，则m，n所成角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{10}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 取AB中点E，AC中点F，AA₁中点G，则平面EFG∥平面α，由平面EFG∩平面ABC=FE，平面EFG∩平面A₁C₁C=GF，面α∩平面ABC=m，面α∩平面A₁C₁C=n，得到∠EFG是m，n所成角（或所成角的补角），由此利用余弦定理能求出m，n所成角的余弦值．

解答 解：取AB中点E，AC中点F，AA₁中点G，
则平面EFG∥平面A₁BC，∴平面EFG∥平面α，
∵平面EFG∩平面ABC=FE，平面EFG∩平面A₁C₁C=GF，
面α∩平面ABC=m，面α∩平面A₁C₁C=n，
∴m∥EF，n∥GF，
∴∠EFG是m，n所成角（或所成角的补角），
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A=2AB=2，
∴EF=$\frac{1}{2}$，EG=FG=$\frac{1}{2}\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴cos∠EFG=$\frac{E{F}^{2}+F{G}^{2}-E{G}^{2}}{2EF•GF}$=$\frac{\frac{1}{4}+\frac{5}{4}-\frac{5}{4}}{2×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{10}$，
∴m，n所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{10}$．
故选：A．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．