Question

已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，椭圆C的上、下顶点分别为A₁，A₂，左、右顶点分别为B₁，B₂,左、右焦点分别为F₁，F₂．原点到直线A₂B₂的距离为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）P是椭圆上异于A₁，A₂的任一点,直线PA₁，PA₂，分别交轴于点N，M,若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T.证明：线段OT的长为定值,并求出该定值.

                                                                    

Answer 1

（1）因为椭圆C的离心率e＝，

故设a＝2m，c＝m，则b＝m．

直线A₂B₂方程为 bx－ay－ab＝0，

即mx－2my－2m²＝0．

所以，解得m＝1．………………… 4分

所以 a＝2，b＝1，椭圆方程为＋y²＝1．    ………………… 6分

（2）由（1）可知A₁(0，1) A₂(0，－1),设P(x₀，y₀),

解法二:OM·ON＝

而＋y₀²＝1，所以x₀²＝4(1－y₀²)，所以OM·ON＝4．

由切割线定理得OT²＝OM·ON＝4．

所以OT＝2,即线段OT的长度为定值2.                      ………………… 14分